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这道题考的是中值定理，证法好像不止一种证明：因为奇数次实系数多项式形如：
a(2n-1)x^(2n-1)+a(2n-2)x^(2n-2)+……+a2x^2+a1x+a0=0
其中最高次项系数a(2n-1)≠0
令f(x)=a(2n-1)x^(2n-1)+a(2n-2)x^(2n-2)+……+a2x^2+a1x+a0
如果a(2n-1)>0，则当x->+∞时，f(x)->+∞；
当x->-∞时，f(x)->-∞。
因f(x)在x∈R上连续，根据中值定理，必有一实根x0满足f(x0)=0。
如果a(2n-1)<0，则当x->+∞时，f(x)->-∞；
当x->-∞时，f(x)->+∞。
因f(x)在x∈R上连续，根据中值定理，必有一实根x0满足f(x0)=0。
故奇数次实系数多项式一定有实根。由于实系数多项式的根，如果是虚数根，一定是成对出现的，即如果x是一个根，那么他的共轭也一定是一个根。
而且实系数多项式的根的个数一定等于多项式的次数。
那么奇数次实系数多项式一定有奇数个根，且复虚数根一定成对出现，有偶数个，所以至少会有一个非虚数的根，即实数根。
由y=4x-x2的顶点P（2，4），
联立方程组{y=4x?x2y=x，
得到交点Q（3，3），O（0，0），
如图所示.
则V=π?∫30y2dy+π?∫43(2+4?y√)2dy-π?∫40(2-4?y√)2dy
=π?13y3|30+π[4y-83(4-y)32+4y-12y2]|43-π[4y+83(4-y)32+4y-12y2]|40
=272π.
题目来源：作业帮题目来源: 作业帮
一平面图形由曲线y2=x和y=x围成,求此平面图形的面积,以及此平面图形绕x轴旋转而生成的旋转体的体积
若能用截图回答最好
解答
答
y2=x
y=x
联立解得交点（0,0）和（1,1）
所以：积分区间为[0,1]
y=f(x)=√x在y=x上方
平面图形面积
S=(0→1) ∫ √x-x dx
=(0→1) [(2/3)×x^(3/2)-(1/2)x2]
=2/3 -1/2
=1/6
体积V=(0→1) ∫ π*[f(x)2-y2] dx
=(0→1) ∫ π(x-x2) dx
=(0→1) π*[(1/2)x2-(1/3)x3]
=π*(1/2-1/3)
=π/6由y=4x-x2的顶点P（2，4），
联立方程组{y=4x?x2y=x，
得到交点Q（3，3），O（0，0），
如图所示.
则V=π?∫30y2dy+π?∫43(2+4?y√)2dy-π?∫40(2-4?y√)2dy
=π?13y3|30+π[4y-83(4-y)32+4y-12y2]|43-π[4y+83(4-y)32+4y-12y2]|40
=272π.
题目来源：作业帮题目来源: 作业帮
一平面图形由曲线y2=x和y=x围成,求此平面图形的面积,以及此平面图形绕x轴旋转而生成的旋转体的体积
若能用截图回答最好
解答
答
y2=x
y=x
联立解得交点（0,0）和（1,1）
所以：积分区间为[0,1]
y=f(x)=√x在y=x上方
平面图形面积
S=(0→1) ∫ √x-x dx
=(0→1) [(2/3)×x^(3/2)-(1/2)x2]
=2/3 -1/2
=1/6
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文章不错《高等数学的一道题目~~6》内容很有帮助